Логарифм произведения

Да не смешите уж людей-то! Эта формула рассматривается везде при положительных a, b и с, при a не равном 1. Никаких модулей там не надо! В Вашей формуле, если b и с разных знаков, то левая часть вообще не имеет смысла!

Мы возвращаемся к тому, с чего начали: свойство логарифма произведения формулируется только для положительных логарифмируемых выражений согласно определению. Такое определение, вероятно, и придумали, чтобы не загромождать свойства модулями. Ваше утверждение ошибок не содержит, но может претендовать не более, чем на следствие из известного свойства.

То, что подлогарифмическое выражение не может быть отрицательным, я в курсе, если Вы не заметили. Но именно на этой странице b и c отрицательными быть могут. Именно благодаря модулям. Вы хотите сказать, что с модулями данное тождество является неверным? При разных знаках - да, а при одинаково отрицательных? Для разных знаков как раз написано условие b * c > 0, но никак не b > 0, c > 0, ведь случай b < 0, c < 0 тоже возможен

все-таки должны быть модули, чтобы учитывать случай, когда одновременно b и c отрицательные

Дело Ваше! b и c отрицательными быть ВООБЩЕ НЕ МОГУТ по определению логарифма. http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/cha..

Вот еще: http://900igr.net/prezentatsii/matematika/Logarifmy/0..

Как же тогда быть с тем, что сужается ОДЗ? во втором части уравнения b и c строго больше нуля, тогда как в левой части они могли быть оба отрицательных

Теперь лучше. Еще ОДЗ для a, b и c указать надо. a>0, b>0, c>0, а не равно 1.