Группа, абелева группа

Группой $(G, *)$ называется некоторое множество G с бинарной операцией * на нем, для которого выполняются следующие три условия:

1. Операция * ассоциативна: ​$\forall a, b, c \in G: a * (b * c) = (a * b) * c$
2. В G существует единичный элемент (или единица) e, такой, что: $\forall a \in G: a * e = e * a = a$
3. Для каждого $a \in G$ существует обратный элемент $a^{-1} \in G$, такой, что: $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$

Если группа удовлетворяет также следующему условию:

$\forall a, b \in G: a * b = b * a$

то она называется абелевой (или коммутативной)