Порядок арифметических действий, скобки

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Например,

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

\[(4−2)+ 1= 3\]

\[4−(2+ 1)= 1\]

Пример 1:

\[(2+ 4) · 5= 6 · 5= 30\]

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

1. в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
2. в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Пример 2:

\[2 · 5−3 · 3\]

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 - 9 = 1

Пример 3:

\[9+ 16 : 4−2 ·(16−2 · 7+ 4)+ 6 ·(2+ 5)\]

Сначала выполняем действия в скобках:
\[16 - 2 · 7 + 4 = 16 - 14 + 4 = 6\]
\[2 + 5 = 7\]

Теперь выполняем остающиеся действия:
\[9 + 16 : 4 - 2 · 6 + 6 · 7 = 9 + 4 - 12 + 42 = 43\]

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками {}. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.Пример 4:

\[5+ 2 ·[14−3 ·(8−6)]+ 32 :(10−2 · 3)\]

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
\[8 - 6 = 2\] 
\[10 - 2 · 3 = 10 - 6 = 4\]

действия в квадратных скобках дают:
\[14 - 3 · 2 = 8\]

выполняя остающиеся действия скобках находим:
\[5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29\]Пример 5:

\[[100−[35−(30−20)]]· 2\]

Порядок действий:
\[30 - 20 = 10\]
\[35 - 10 = 25\]
\[100 - 25 = 75\]
\[75 · 2 = 150\]