наверх

Здесь вы можете без предоплаты приобрести диплом Вуза с доставкой на дом
«Самое непостижимое в этом мире — это то, что он постижим»
- Альберт Эйнштейн
Типы материалов
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Определение Сложение, сумма

Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально.

\[слагаемое + слагаемое = сумма\]

Например

\[4 + 3 = 7\]
4 — слагаемое
3 — слагаемое
7 — сумма

Часто даются “определения” вроде таких: “сложение есть действие, посредством которого несколько чисел соединяются в одно”. или “действие посредством которого сколько единиц содержится в нескольких числах вместе”. Но тот, кто не знал бы что значит “сложить”, не знал бы и что такое “соединить числа”, так что все похожие определения сводятся лишь к замене одних слов другими.

Определение Вычитание

Вычитание — есть нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Сумма получает название уменьшаемого, данное слагаемое - вычитаемого, искомое слагаемое — разности.

\[Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность\]

Например

\[9 −5 = 4\]

9 — Уменьшаемое
5 — Вычитаемое
4 — Разность

Умножить некоторое число (множимое) на целое число (множитель) — значит повторить множимое слагаемое столько раз, сколько указывает множитель. Результат называется произведением.

\[Множимое × Множитель = Произведение\]

Например

\[3 × 4 = 12\]

Или еще записывают так

\[3 · 4 = 12\]

3 — Множимое
4 — Множитель
12 — Произведение

а вычисляется так

\[3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12\]

Если множимое и множитель меняются ролями, произведение остается тем же.

\[4 × 3 = 4 + 4 + 4 = 12\]

Определение Деление с остатком

Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающееделимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком. Он всегда меньше делителя.

Например:

19 не делится нацело на 5.
Числа 1, 2, 3 в произведение с 5 дают 5, 10, 15,
не превосходящие делимое 19,
но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19.
Поэтому неполное частное есть 3.
Разность между 19 и произведением 3 · 5 = 15 есть 19 — 15 = 4;
поэтому остаток есть 4.

Возвести число в целую степень (вторую, третью, четвертую и т.д.) — значит повторить это число собственным сомножителем два, три, четыре и т.д. раз.Основание степени — это число, которое повторяется сомножителем. Показатель степени — это число, указывающее, сколько раз берется одинаковый множитель. Результат называется степенью.

Запись:

\[3^4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81\]

Здесь
3 — основание степени,
4 — показатель степени,
81 — степень.

Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Определение Извлечение корня

Извлечение корня есть нахождение основания степени по степени и ее показателю. Данная степень получает название подкоренного числа, данный показатель — показателя корня, искомое основание степени называется корнем.

Запись:

\[\sqrt[4]{81} = 3\]
 
Здесь

81 — подкоренное число,
4 — показатель корня,
3 — корень.

Возведение числа 3 в четвертую степень дает 81. \(3^4 = 81\) (проверка извлечения корня).

Корень второй степени называется иначе квадратным, корень третьей степени — кубическим. При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать.

Например:

\(\sqrt[2]{16} = \sqrt{16} = 4\)

 

 

 

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Например,

\[4−2+ 1= 3\]

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

\[(4−2)+ 1= 3\]

\[4−(2+ 1)= 1\]

 

Пример 1:

\[(2+ 4) · 5= 6 · 5= 30\]


\[2+(4 · 5)= 2+ 20= 22\]

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

  1. в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
  2. в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

  1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
  2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Пример 2:

\[2 · 5−3 · 3\]

 

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 - 9 = 1

Пример 3:

\[9+ 16 : 4−2 ·(16−2 · 7+ 4)+ 6 ·(2+ 5)\]

 

Сначала выполняем действия в скобках:
\[16 - 2 · 7 + 4 = 16 - 14 + 4 = 6\]
\[2 + 5 = 7\]

Теперь выполняем остающиеся действия:
\[9 + 16 : 4 - 2 · 6 + 6 · 7 = 9 + 4 - 12 + 42 = 43\]

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками {}. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.Пример 4:

\[5+ 2 ·[14−3 ·(8−6)]+ 32 :(10−2 · 3)\]

 

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
\[8 - 6 = 2\] 
\[10 - 2 · 3 = 10 - 6 = 4\]

действия в квадратных скобках дают:
\[14 - 3 · 2 = 8\]

выполняя остающиеся действия скобках находим:
\[5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29\]Пример 5:

\[[100−[35−(30−20)]]· 2\]

 

Порядок действий:
\[30 - 20 = 10\]
\[35 - 10 = 25\]
\[100 - 25 = 75\]
\[75 · 2 = 150\]