наверх

Здесь вы можете без предоплаты приобрести диплом Вуза с доставкой на дом
«Нет большей ненависти в мире, чем ненависть невежд к знанию»
- Галилео Галилей
Типы материалов
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}\]

\(\sin(\alpha - \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}\)

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha} \cos{\beta} - \sin{\alpha} \sin{\beta}\]

\[\cos(\alpha - \beta) = \cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{\alpha}}{2}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{\alpha}}{2}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\sin{2 \alpha} = 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\cos{2 \alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\sin^2{\alpha} + \cos^2{\beta} = 1\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\mathrm{tg}{\alpha} + \mathrm{tg}{\beta}}{1 - \mathrm{tg}{\alpha} \mathrm{tg}{\beta}}\]

\[\mathrm{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\mathrm{tg}{\alpha}- \mathrm{tg}{\beta}}{1 + \mathrm{tg}{\alpha} \mathrm{tg}{\beta}}\]

Докажем сначала тангенс суммы. По определению тангенса:

\[\mathrm{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}\]

Из формул косинуса и синуса суммы:

\[\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} - \sin{\alpha} \sin{\beta}}\]

 

\(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos\beta \ne 0\) т.к. при \(\cos\alpha =0\) не определен \(\mathrm{tg}{\alpha}\) (ввиду деления на ноль), аналогично для \(\cos\beta\). Следовательно, можно разделить числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha \cos\beta\)

\[\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} - \sin{\alpha} \sin{\beta}} = \frac{\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} + \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}}{\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} - \frac{\sin{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}} = \frac{\mathrm{tg}{\alpha} + \mathrm{tg}{\beta}}{1 - \mathrm{tg}{\alpha}\mathrm{tg}{\beta} }\]

Доказательство тангенса разности аналогично. По определению тангенса:

\[\mathrm{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)}\]

Из формул косинуса и синуса суммы:

\[\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}}\]

 

\(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos\beta \ne 0\) т.к. при \(\cos\alpha =0\) не определен \(\mathrm{tg}{\alpha}\) (ввиду деления на ноль), аналогично для \(\cos\beta\). Следовательно, можно разделить числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha \cos\beta\)

\[\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}} = \frac{\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} - \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}}{\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} + \frac{\sin{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}} = \frac{\mathrm{tg}{\alpha} - \mathrm{tg}{\beta}}{1 + \mathrm{tg}{\alpha}\mathrm{tg}{\beta} }\]

 
 
Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha} \mathrm{ctg}{\beta} - 1}{\mathrm{ctg}{\beta} + \mathrm{ctg}{\alpha}}\]

\[\mathrm{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha} \mathrm{ctg}{\beta} + 1}{\mathrm{ctg}{\beta} - \mathrm{ctg}{\alpha}}\]

Докажем сначала контангес суммы. По определению контангенса:

\[\mathrm{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)}\]

Из формул косинуса и синуса суммы:

\[\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{\cos{\alpha} \cos{\beta} - \sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}}\]

 

\(\sin\alpha \ne 0\) и \(\sin\beta \ne 0\) т.к. при \(\sin\alpha =0\) не определен \(\mathrm{ctg}{\alpha}\) (ввиду деления на ноль), аналогично для \(\sin\beta\). Следовательно, можно разделить числитель и знаменатель дроби на \(\sin\alpha \sin\beta\)

\[\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta} - \sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}} = \frac{\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}} - \frac{\sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}}{\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}} + \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}} = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha}\mathrm{ctg}{\beta} - 1}{\mathrm{ctg}{\beta} + \mathrm{ctg}{\alpha}}\]

Доказательство контангенса разности аналогично. По определению контангенса:

\[\mathrm{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)}\]

Из формул косинуса и синуса суммы:

\[\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}}\]

 

\(\sin\alpha \ne 0\) и \(\sin\beta \ne 0\) т.к. при \(\sin\alpha =0\) не определен \(\mathrm{ctg}{\alpha}\) (ввиду деления на ноль), аналогично для \(\sin\beta\). Следовательно, можно разделить числитель и знаменатель дроби на \(\sin\alpha \sin\beta\)

\[\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}} = \frac{\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}} + \frac{\sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}}{\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}} - \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}} = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha}\mathrm{ctg}{\beta} + 1}{\mathrm{ctg}{\beta} - \mathrm{ctg}{\alpha}}\]

 

 

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{tg}{2 \alpha} = \frac{2 \mathrm{tg}{\alpha}}{1 - \mathrm{tg^2}{\alpha}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{ctg}{2 \alpha} = \frac{\mathrm{ctg^2}{\alpha} - 1}{2 \mathrm{ctg}{\alpha}} = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha} - \mathrm{tg}{\alpha}}{2}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\sin{3 \alpha} = 3 \sin{\alpha} - 4 \sin^3 {\alpha}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\cos{3 \alpha} = 4 \cos^3 {\alpha} - 3 \cos{\alpha}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{tg}{3 \alpha} = \frac{3 \mathrm{tg}{\alpha} - \mathrm{tg^3}{\alpha}}{1 - 3 \mathrm{tg^2}{\alpha}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{ctg}{3 \alpha} = \frac{\mathrm{ctg^3}{\alpha} - 3 \mathrm{ctg}{\alpha}}{3 \mathrm{ctg^2}{\alpha} - 1}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{tg}{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{\sin{\alpha}}{1 + \cos{\alpha}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{ctg}{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin{\alpha}}{1 - \cos{\alpha}} = \frac{1 + \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\sin{\alpha} \sin{\beta} = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\sin{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} (\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta))\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\cos{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\frac{\alpha + \beta}{2}} \cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}\]

\[\sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \sin{\frac{\alpha- \beta}{2}} \cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha + \beta}{2}} \cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}\]

\[\cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2 \sin{\frac{\alpha + \beta}{2}} \sin{\frac{\alpha - \beta}{2}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{tg}{\alpha} + \mathrm{tg}{\beta} = \frac{\sin(\alpha+ \beta)}{\cos{\alpha} \cos{\beta}}\]

\[\mathrm{tg}{\alpha} - \mathrm{tg}{\beta} = \frac{\sin(\alpha- \beta)}{\cos{\alpha} \cos{\beta}}\]

Входящие величины
\(\alpha\) - произвольный угол \((рад)\)
\(\beta\) - произвольный угол \((рад)\)

\[\mathrm{ctg}{\alpha} + \mathrm{ctg}{\beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin{\alpha} \cdot \sin{\beta}}\]

\[\mathrm{ctg}{\alpha} - \mathrm{ctg}{\beta} = \frac{-\sin(\alpha - \beta)}{\sin{\alpha} \cdot \sin{\beta}}\]