Все материалы

Признак делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. В остальных случаях — не делится.

Признаки делимости на 3

Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 9

Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 10, 100, 1000

Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.
Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.
Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.
и так далее

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

В современном русском языке, а также в языках других народов, названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800,900, 1000 (например, девятьсот восемнадцать тысяч семьсот сорок два). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10,100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять, т.е. три десятка, 300 = триста, т.е. три сотни). В основе этого словообразования лежит число 10, и потому наша система наименований называется десятичной системой счисления. Исключительная роль, принадлежащая числу 10, объясняется тем, что на руках у нас 10 пальцев.

Из упомянутого правила в разных языках имеются различные исключения, объясняющиеся историческими особенностями развития счета.

Число сорок

В русском языке единственным исключением является наименование «сорок» (прежде наряду с ним употреблялось и слово «четыредесят»). Это исключение можно поставить в связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль, означая неопределенно большое количество.

Словом «сорок» (иначе «сорочка») в древней Руси называли большой мешок, куда укладывались ценные соболиные шкурки. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл имеет слово «сорок» в ряде русских пословиц и поговорок («и один глаз, да зорок, не надо и сорок», «сидела сорок лет, высидела сорок реп» и др.)

Десятичная система счисления в других языках

В тюркских языках (азербайджанском, узбекском, туркменском, казахском, татарском, турецком и др.) исключение составляют наименования чисел 20, 30, 40, 50, тогда как названия чисел 60, 70, 80,90 образованы из наименований для 6, 7, 8, 9.

В татарском языке числа первого десятка называются: бер (1), ике (2), еч (3), дурт (4), биш (5), алтын (6), жиде (7), сигез (8), тугыз (9), ун (10). Десятки же именуются: егерме (20), утыз (30), кырык (40), илле (50), алтмыш (60), житмеш (70), сиксен (80), туксан (90). Наряду с названием «иез» для числительного 100 существует наименование «сан»; это же слово может означать и 40.

В монгольском языке, наоборот, наименования чисел 20, 30, 40, 50следует общему правилу, а наименования чисел 60, 70, 80, 90 составляют исключения.

Во французском языке сохранились недесятичные названия чисел 20 и80, причем 80 именуется quatrevingt, т.е. «четыре двадцать». Здесь мы имеем остаток древнего двадцатеричного счисления (по числу пальцев на руках и ногах).

В латинском языке наименование числа 20 тоже недесятичное (viginti), но наименование 80 (octoginta) – десятичное; оно произведено от 8 (octo). Зато наименования чисел 18 и 19 образованы из названия 20 с помощью вычитания: 20 – 2 и 20 – 1 (duodeviginti,undeviginti, т.е. «два от двадцати», «один от двадцати»).

Наименования чисел 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 во всех современных языках построены на десятичной основе.

Для удобства чтения и запоминания больших чисел цифры их разбивают на так называемые «классы»: справа отделяют три цифры (первый класс), затем еще три (второй класс) и т.д. Последний класс может иметь три, две и одну цифру. Между классами обычно оставляется небольшой пробел. Например, число 35461298 записывают так 35 461 298. Здесь 298 — первый класс, 461 — второй класс, 35 — третий. Каждая из цифр класса называется его разрядом; счет разрядов также идет справа. Например, в первом классе 298цифра 8 составляет первый разряд, 9 — второй, 2 — третий. В последнем классе может быть три, два разряда (в нашем примере: 5 — первый разряд, 3 — второй) или один.

Первый класс дает число единиц, второй — тысяч, третий — миллионов; сообразно с этим число 35 461 298 читается: тридцать пять миллионов четыреста шестьдесят одна тысяча двести девяносто восемь. Поэтому говорят, что единица второго класса есть тысяча; единица третьего класса — миллион.

Таблица, Названия больших чисел

Единица четвертого класса называется миллиардом, или, иначе, биллионом (1 миллиард = 1000 миллионов).

Единица пятого класса называется триллионом (1 триллион = 1000биллионов или 1000 миллиардов).

Единицы шестого, седьмого, восьмого и т.д. классов (каждая из которых в 1000 раз больше предшествующей) называются квадриллионом, квинтиллионом, секстиллионом, септиллионом и т.д.

На самых ранних ступенях развития люди знали только натуральные числа. Но этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях жизни. Действительно, одно натуральное число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между тем в жизни нужно бывает делить, скажем, 3 на 4, 5 на 12 и так далее. Без введения дробных чисел деление натуральных чисел есть невозможное действие; Введение дробей делает это действие возможным.

Но действие вычитания и после введения дробей остается не всегда возможным: нельзя вычесть большее число из меньшего, например 5из 3. Однако в повседневной жизни и не представляется необходимым производить подобное вычитание, и потому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику, и оно было узаконено индийскими учеными примерно в 7 в. н. э., а китайскими еще раньше. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 руб. и закупает товара на 3000 руб., у него остается

\[5000 – 3000= 2000\]

Если же он имеет 3000 руб., а закупает на 5000 руб., то он остается в долгу на 2000 руб. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 – 5000, результатом же является число2000 (2000 с точкой наверху), означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 – 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 – 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления. Все же толкование это долго приводилось в учебниках и в некоторых книгах приводится и поныне.«Невозможность» вычитания большего числа из меньшего обусловливается тем, что натуральный ряд чисел бесконечен только в одну сторону. Если последовательно вычитать 1, начиная, скажем, из числа 7, мы получим числа

\[6, 5, 4, 3, 2, 1\]

Дальнейшее вычитание дает уже «отсутствие числа», а дальше не из чего уже вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание всегда возможным, мы должны:
1. «отсутствие числа» считать также числом (нуль);
2. от этого последнего числа считать возможным отнять еще единицу и т. д.Так мы получаем новые числа, обозначаемые в настоящее время так:

\(−1,−2,−3 и т. д.\)

Это так называемые отрицательные целые числа. Стоящий перед нимизнак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. Знак этот называется «знаком количества» в отличие от знака вычитания, имеющего ту же форму; последний называется «знаком действия».

Введение целых отрицательных чисел влечет за собой введение дробных отрицательных чисел. Если мы принимаем, что 0 – 5 = –5, то должны принять также, что:

Число -3/5 Есть дробное отрицательное число.

В противоположность отрицательным числам (целым и дробным) те числа (целые и дробные), которые рассматриваются в арифметике, называются положительными. Чтобы еще более оттенить эту противоположность, положительные числа снабжаются часто знаком «плюс», который в этом случае есть знак количества (а не знаком действия). Например, число 2 записывают +2.

Одинаковость вида знаков количества (+ и -) и знаков действий имеет ряд преимуществ для вычислительных целей, но на первых порах причиняет учащимся ряд трудностей. Поэтому в начальном преподавании полезно различать знак действия от знака количества, например, писать отрицательную двойку не в виде -2, а в виде 2¯, как это делается всегда в логарифмических вычислениях.

Отрицательные и положительные числа, взятые вместе, в школьных руководствах именуют относительными числами. В принятой научной терминологии эти числа вместе с числом нуль называют рациональными. Смысл такого названия выясняется при введении понятия иррационального числа. Подобно тому как до введения отрицательного числа нет никаких положительных чисел и число 3/5есть просто дробное число, а не положительное дробное число, так и до введения иррационального числа числа +5, -5, -3/4, +3/4 и т.д. просто суть положительные и отрицательные целые и дробные числа, а не рациональные числа.

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Например,

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

\[(4−2)+ 1= 3\]

\[4−(2+ 1)= 1\]

Пример 1:

\[(2+ 4) · 5= 6 · 5= 30\]

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

1. в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
2. в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Пример 2:

\[2 · 5−3 · 3\]

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 - 9 = 1

Пример 3:

\[9+ 16 : 4−2 ·(16−2 · 7+ 4)+ 6 ·(2+ 5)\]

Сначала выполняем действия в скобках:
\[16 - 2 · 7 + 4 = 16 - 14 + 4 = 6\]
\[2 + 5 = 7\]

Теперь выполняем остающиеся действия:
\[9 + 16 : 4 - 2 · 6 + 6 · 7 = 9 + 4 - 12 + 42 = 43\]

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками {}. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.Пример 4:

\[5+ 2 ·[14−3 ·(8−6)]+ 32 :(10−2 · 3)\]

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
\[8 - 6 = 2\] 
\[10 - 2 · 3 = 10 - 6 = 4\]

действия в квадратных скобках дают:
\[14 - 3 · 2 = 8\]

выполняя остающиеся действия скобках находим:
\[5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29\]Пример 5:

\[[100−[35−(30−20)]]· 2\]

Порядок действий:
\[30 - 20 = 10\]
\[35 - 10 = 25\]
\[100 - 25 = 75\]
\[75 · 2 = 150\]