наверх
«Ничто так сильно не разрушает человека, как продолжительное бездействие»
- Аристотель
Типы материалов
АРИФМЕТИКА

Признак делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. В остальных случаях — не делится.

 

Признаки делимости на 3

Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

 

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

 

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

 

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

 

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

 

Признаки делимости на 9

Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

 

Признак делимости на 10, 100, 1000

Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.
Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.
Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.
и так далее

 

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

 

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Первые представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий человека и других предметов. Результатом счета являются числа Один, Два, Три и т.д. Эти числа носят название — натуральные числа. В арифметике их также называют — целые числа.

Понятие о натуральном числе является одним из простейших понятий. Его можно пояснить только предметным показом.

Евклид (III век до нашей эры) определял натуральное число как множество, составленное из единиц. Такого рода определения можно найти и во многих нынешних учебниках. Но слово множество или совокупность совсем не понятнее слова число.

Ряд целых чисел

1.
1, 2, 3, 4, 5, ...
 

продолжается без конца. Он носит называние — натуральный ряд

Определение Арифметика

Арифметика — это наука о числах. Название арифметика происходит от греческого слова аритмос илиарифмос, что означает число. В арифметике изучаются простейшие свойства чисел и правила вычислений. Более глубокие свойства числ изучаются в теории чисел.

В современном русском языке, а также в языках других народов, названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800,900, 1000 (например, девятьсот восемнадцать тысяч семьсот сорок два). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10,100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять, т.е. три десятка, 300 = триста, т.е. три сотни). В основе этого словообразования лежит число 10, и потому наша система наименований называется десятичной системой счисления. Исключительная роль, принадлежащая числу 10, объясняется тем, что на руках у нас 10 пальцев.

Из упомянутого правила в разных языках имеются различные исключения, объясняющиеся историческими особенностями развития счета.

Число сорок

В русском языке единственным исключением является наименование «сорок» (прежде наряду с ним употреблялось и слово «четыредесят»). Это исключение можно поставить в связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль, означая неопределенно большое количество.

Словом «сорок» (иначе «сорочка») в древней Руси называли большой мешок, куда укладывались ценные соболиные шкурки. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл имеет слово «сорок» в ряде русских пословиц и поговорок («и один глаз, да зорок, не надо и сорок», «сидела сорок лет, высидела сорок реп» и др.)

Десятичная система счисления в других языках

В тюркских языках (азербайджанском, узбекском, туркменском, казахском, татарском, турецком и др.) исключение составляют наименования чисел 20, 30, 40, 50, тогда как названия чисел 60, 70, 80,90 образованы из наименований для 6, 7, 8, 9.

В татарском языке числа первого десятка называются: бер (1), ике (2), еч (3), дурт (4), биш (5), алтын (6), жиде (7), сигез (8), тугыз (9), ун (10). Десятки же именуются: егерме (20), утыз (30), кырык (40), илле (50), алтмыш (60), житмеш (70), сиксен (80), туксан (90). Наряду с названием «иез» для числительного 100 существует наименование «сан»; это же слово может означать и 40.

В монгольском языке, наоборот, наименования чисел 20, 30, 40, 50следует общему правилу, а наименования чисел 60, 70, 80, 90 составляют исключения.

Во французском языке сохранились недесятичные названия чисел 20 и80, причем 80 именуется quatrevingt, т.е. «четыре двадцать». Здесь мы имеем остаток древнего двадцатеричного счисления (по числу пальцев на руках и ногах).

В латинском языке наименование числа 20 тоже недесятичное (viginti), но наименование 80 (octoginta) – десятичное; оно произведено от 8 (octo). Зато наименования чисел 18 и 19 образованы из названия 20 с помощью вычитания: 20 – 2 и 20 – 1 (duodeviginti,undeviginti, т.е. «два от двадцати», «один от двадцати»).

Наименования чисел 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 во всех современных языках построены на десятичной основе.

Для удобства чтения и запоминания больших чисел цифры их разбивают на так называемые «классы»: справа отделяют три цифры (первый класс), затем еще три (второй класс) и т.д. Последний класс может иметь три, две и одну цифру. Между классами обычно оставляется небольшой пробел. Например, число 35461298 записывают так 35 461 298. Здесь 298 — первый класс, 461 — второй класс, 35 — третий. Каждая из цифр класса называется его разрядом; счет разрядов также идет справа. Например, в первом классе 298цифра 8 составляет первый разряд, 9 — второй, 2 — третий. В последнем классе может быть три, два разряда (в нашем примере: 5 — первый разряд, 3 — второй) или один.

Первый класс дает число единиц, второй — тысяч, третий — миллионов; сообразно с этим число 35 461 298 читается: тридцать пять миллионов четыреста шестьдесят одна тысяча двести девяносто восемь. Поэтому говорят, что единица второго класса есть тысяча; единица третьего класса — миллион.

Таблица, Названия больших чисел

1 = 100 один
10 = 101 десять
100 = 102 сто
1 000 = 103 тысяча
10 000 = 104  
100 000 = 105  
1 000 000 = 106 миллион
10 000 000 = 107  
100 000 000 = 108  
1 000 000 000 = 109 миллиард
(биллион)
10 000 000 000 = 1010  
100 000 000 000 = 1011  
1 000 000 000 000 = 1012 триллион
10 000 000 000 000 = 1013  
100 000 000 000 000 = 1014  
1 000 000 000 000 000 = 1015 квадриллион
10 000 000 000 000 000 = 1016  
100 000 000 000 000 000 = 1017  
1 000 000 000 000 000 000 = 1018 квинтиллион
10 000 000 000 000 000 000 = 1019  
100 000 000 000 000 000 000 = 1020  
1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 секстиллион
10 000 000 000 000 000 000 000 = 1022  
100 000 000 000 000 000 000 000 = 1023  
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024 сеплиллион
10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1025  
100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1026  
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1027 октиллион
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1028  
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1029  
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1030 нониллион
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1031  
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1032  
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1033 дециллион

Единица четвертого класса называется миллиардом, или, иначе, биллионом (1 миллиард = 1000 миллионов).

Единица пятого класса называется триллионом (1 триллион = 1000биллионов или 1000 миллиардов).

Единицы шестого, седьмого, восьмого и т.д. классов (каждая из которых в 1000 раз больше предшествующей) называются квадриллионом, квинтиллионом, секстиллионом, септиллионом и т.д.

Определение Кратные числа

Частное от деления одного целого числа на другое целое может не быть целым числом. Тогда это частное можно представить дробью. Если частное есть целое число, то говорят, что первое из упомянутых чисел нацело делится, или просто, делится на второе. Например, 35 делится (нацело) на 5, ибо частное есть целое число 7. Второе число в этом случае 5 называется делителем первого 35, первое 35 — кратным второго 5.

Например:

60 есть кратное чисел 15, 20, 30 и не является кратным чисел 17, 40,90.

Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое. В случае, кода делимое не делится нацело на делитель, иногда выполняют так называемое деление с остатком.

Определение Простое число

Все целые числа, кроме 1, имеют по меньшей мере двух делителей: единицу и самого себя.

Простые числа, это такие числа, которые не имеют никаких других делителей, кроме едицы и самого себя.

Например
7, 41, 53 — простые числа.

Простых чисел — бесчисленное множество.

Определение Составное число

Составные числа, это такие числа, которые имеют другие делители, кроме едицы и самого себя.

Например
21 — составное число. Оно делится на 1, 3, 7, 21

Число 1 выделяют особо — оно не относится ни к простым ни к составным числам.

2 3 5 7 11 13 17
19 23 29 31 37 41 43
47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97 101 103 107
109 113 127 131 137 139 149
151 157 163 173 179 181 191
193 197 199      

Общий делитель нескольких чисел — это число служащее делителем для каждого из них.

Например,

Числа 12, 18, 30 имеют общий делитель 3, а так же общий делитель 2. Среди всех общих делителей, всегда есть наибольший. В данном случае для выше перечисленных чисел наибольший общий делитель — это число 6.

Для того чтобы найти наибольший общий делитель необходимо разложить каждое из заданных чисел на простые множители. Потом выписать отдельно только те множители которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа и результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

Например,

\[252= 2^2 · 3^2 · 7\]


\[441= 3^2 · 7^2\]
\[1080= 2^3 · 3^3 · 5\]

 

\[\text{наибольший общий делитель}= 3^2= 9\]

 

Взаимно простые числа это такие числа наибольший общий делитель которых равен 1.

Может случиться так, что простых множителей, общих для всех заданных чисел, не будет. Тогда наибольший общий делитель — это число 1.

Общее кратное нескольких чисел — это число, служащее кратным для каждого из них.

Числа 15, 6, 10 имеют общее кратное 180; число 90 — также общее кратное этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае число 30. Это число называется наименьшим общим кратным.

Чтобы найти наименьшее общее кратное заданных чисел, разлагаем данные числа на простые множители, выписываем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел, каждый из взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в заданные числа. Производим умножение.

Например,

\[252= 2^2 · 3^2 · 7\]


\[441= 3^2 · 7^2\]
\[1080= 2^3 · 3^3 · 5\]
\[\text{Наименьшее общее кратное} = 2^3 · 3^3 · 5 · 7^2= 52920\]

На самых ранних ступенях развития люди знали только натуральные числа. Но этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях жизни. Действительно, одно натуральное число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между тем в жизни нужно бывает делить, скажем, 3 на 4, 5 на 12 и так далее. Без введения дробных чисел деление натуральных чисел есть невозможное действие; Введение дробей делает это действие возможным.

Но действие вычитания и после введения дробей остается не всегда возможным: нельзя вычесть большее число из меньшего, например 5из 3. Однако в повседневной жизни и не представляется необходимым производить подобное вычитание, и потому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику, и оно было узаконено индийскими учеными примерно в 7 в. н. э., а китайскими еще раньше. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 руб. и закупает товара на 3000 руб., у него остается

\[5000 – 3000= 2000\]

 

Если же он имеет 3000 руб., а закупает на 5000 руб., то он остается в долгу на 2000 руб. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 – 5000, результатом же является число2000 (2000 с точкой наверху), означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 – 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 – 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления. Все же толкование это долго приводилось в учебниках и в некоторых книгах приводится и поныне.«Невозможность» вычитания большего числа из меньшего обусловливается тем, что натуральный ряд чисел бесконечен только в одну сторону. Если последовательно вычитать 1, начиная, скажем, из числа 7, мы получим числа

\[6, 5, 4, 3, 2, 1\]

 

Дальнейшее вычитание дает уже «отсутствие числа», а дальше не из чего уже вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание всегда возможным, мы должны:
1. «отсутствие числа» считать также числом (нуль);
2. от этого последнего числа считать возможным отнять еще единицу и т. д.Так мы получаем новые числа, обозначаемые в настоящее время так:

\(−1,−2,−3 и т. д.\)

 

Это так называемые отрицательные целые числа. Стоящий перед нимизнак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. Знак этот называется «знаком количества» в отличие от знака вычитания, имеющего ту же форму; последний называется «знаком действия».

Введение целых отрицательных чисел влечет за собой введение дробных отрицательных чисел. Если мы принимаем, что 0 – 5 = –5, то должны принять также, что:

\[0 - \frac{3}{5} = - \frac{3}{5}\]

Число -3/5 Есть дробное отрицательное число.

В противоположность отрицательным числам (целым и дробным) те числа (целые и дробные), которые рассматриваются в арифметике, называются положительными. Чтобы еще более оттенить эту противоположность, положительные числа снабжаются часто знаком «плюс», который в этом случае есть знак количества (а не знаком действия). Например, число 2 записывают +2.

Одинаковость вида знаков количества (+ и -) и знаков действий имеет ряд преимуществ для вычислительных целей, но на первых порах причиняет учащимся ряд трудностей. Поэтому в начальном преподавании полезно различать знак действия от знака количества, например, писать отрицательную двойку не в виде -2, а в виде 2¯, как это делается всегда в логарифмических вычислениях.

Отрицательные и положительные числа, взятые вместе, в школьных руководствах именуют относительными числами. В принятой научной терминологии эти числа вместе с числом нуль называют рациональными. Смысл такого названия выясняется при введении понятия иррационального числа. Подобно тому как до введения отрицательного числа нет никаких положительных чисел и число 3/5есть просто дробное число, а не положительное дробное число, так и до введения иррационального числа числа +5, -5, -3/4, +3/4 и т.д. просто суть положительные и отрицательные целые и дробные числа, а не рациональные числа.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Определение Сложение, сумма

Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально.

\[слагаемое + слагаемое = сумма\]

Например

\[4 + 3 = 7\]
4 — слагаемое
3 — слагаемое
7 — сумма

Часто даются “определения” вроде таких: “сложение есть действие, посредством которого несколько чисел соединяются в одно”. или “действие посредством которого сколько единиц содержится в нескольких числах вместе”. Но тот, кто не знал бы что значит “сложить”, не знал бы и что такое “соединить числа”, так что все похожие определения сводятся лишь к замене одних слов другими.

Определение Вычитание

Вычитание — есть нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Сумма получает название уменьшаемого, данное слагаемое - вычитаемого, искомое слагаемое — разности.

\[Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность\]

Например

\[9 −5 = 4\]

9 — Уменьшаемое
5 — Вычитаемое
4 — Разность

Умножить некоторое число (множимое) на целое число (множитель) — значит повторить множимое слагаемое столько раз, сколько указывает множитель. Результат называется произведением.

\[Множимое × Множитель = Произведение\]

Например

\[3 × 4 = 12\]

Или еще записывают так

\[3 · 4 = 12\]

3 — Множимое
4 — Множитель
12 — Произведение

а вычисляется так

\[3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12\]

Если множимое и множитель меняются ролями, произведение остается тем же.

\[4 × 3 = 4 + 4 + 4 = 12\]

Определение Деление с остатком

Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающееделимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком. Он всегда меньше делителя.

Например:

19 не делится нацело на 5.
Числа 1, 2, 3 в произведение с 5 дают 5, 10, 15,
не превосходящие делимое 19,
но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19.
Поэтому неполное частное есть 3.
Разность между 19 и произведением 3 · 5 = 15 есть 19 — 15 = 4;
поэтому остаток есть 4.

Возвести число в целую степень (вторую, третью, четвертую и т.д.) — значит повторить это число собственным сомножителем два, три, четыре и т.д. раз.Основание степени — это число, которое повторяется сомножителем. Показатель степени — это число, указывающее, сколько раз берется одинаковый множитель. Результат называется степенью.

Запись:

\[3^4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81\]

Здесь
3 — основание степени,
4 — показатель степени,
81 — степень.

Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Определение Извлечение корня

Извлечение корня есть нахождение основания степени по степени и ее показателю. Данная степень получает название подкоренного числа, данный показатель — показателя корня, искомое основание степени называется корнем.

Запись:

\[\sqrt[4]{81} = 3\]
 
Здесь

81 — подкоренное число,
4 — показатель корня,
3 — корень.

Возведение числа 3 в четвертую степень дает 81. \(3^4 = 81\) (проверка извлечения корня).

Корень второй степени называется иначе квадратным, корень третьей степени — кубическим. При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать.

Например:

\(\sqrt[2]{16} = \sqrt{16} = 4\)

 

 

 

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Например,

\[4−2+ 1= 3\]

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

\[(4−2)+ 1= 3\]

\[4−(2+ 1)= 1\]

 

Пример 1:

\[(2+ 4) · 5= 6 · 5= 30\]


\[2+(4 · 5)= 2+ 20= 22\]

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

  1. в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
  2. в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

  1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
  2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Пример 2:

\[2 · 5−3 · 3\]

 

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 - 9 = 1

Пример 3:

\[9+ 16 : 4−2 ·(16−2 · 7+ 4)+ 6 ·(2+ 5)\]

 

Сначала выполняем действия в скобках:
\[16 - 2 · 7 + 4 = 16 - 14 + 4 = 6\]
\[2 + 5 = 7\]

Теперь выполняем остающиеся действия:
\[9 + 16 : 4 - 2 · 6 + 6 · 7 = 9 + 4 - 12 + 42 = 43\]

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками {}. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.Пример 4:

\[5+ 2 ·[14−3 ·(8−6)]+ 32 :(10−2 · 3)\]

 

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
\[8 - 6 = 2\] 
\[10 - 2 · 3 = 10 - 6 = 4\]

действия в квадратных скобках дают:
\[14 - 3 · 2 = 8\]

выполняя остающиеся действия скобках находим:
\[5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29\]Пример 5:

\[[100−[35−(30−20)]]· 2\]

 

Порядок действий:
\[30 - 20 = 10\]
\[35 - 10 = 25\]
\[100 - 25 = 75\]
\[75 · 2 = 150\]

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Определение Рациональное число

Рациональные числа — это целые числа (т.е. натуральные числа 1, 2, 3 и т.д., отрицательные -1, -2, -3 и т.д. и нуль) и дроби. Всякое рациональное число можно записать в виде дроби:

\[\frac{p}{q}\]

где \(p\) и \(q\) – целые числа